เฉลย ข้อสอบ แบบละเอียด ครูผู้ช่วย กลุ่มวิชาคณิตศาสตร์

1. ง. $(frac{a}{b})^2$
– วิธีทำ: จาก $frac{a}{b} = frac{b}{c}$ จะได้ $a times c = b^2$ ดังนั้น $frac{a}{c} = frac{b^2}{c^2} = (frac{b}{c})^2 = (frac{a}{b})^2$

2. ก. -12
– วิธีทำ: จากเอกลักษณ์พีชคณิต $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$
– เมื่อ $a+b+c = 0$ และ $a^2+b^2+c^2 = 24$
– จะได้ $0 = 24 + 2(ab+bc+ca)$
– ดังนั้น $ab+bc+ca = -12$

3. ค. $f(x) = g(sin^{-1} frac{x}{3})$ เมื่อ $x in [-3,3]$
– วิธีทำ: $f(x) = sqrt{9-x^2}$ และ $g(x) = 3sin x$
– ถ้า $x = 3sintheta$ เมื่อ $theta = sin^{-1} frac{x}{3}$ โดยที่ $-3 leq x leq 3$
– จะได้ $f(x) = sqrt{9-9sin^2theta} = sqrt{9(1-sin^2theta)} = sqrt{9cos^2theta} = 3costheta$
– แต่ $g(sin^{-1} frac{x}{3}) = 3sin(sin^{-1} frac{x}{3}) = 3 cdot frac{x}{3} = x$
– ดังนั้น $f(x) neq g(sin^{-1} frac{x}{3})$ ตอบข้อ ค ผิด คำตอบคือข้อ ง

4. ข. $frac{5}{3}$
– วิธีทำ: $lim_{x to 0} frac{sin 5x}{sin 3x} = lim_{x to 0} frac{5x}{sin 5x} cdot frac{sin 3x}{3x} cdot frac{5}{3} = 1 cdot 1 cdot frac{5}{3} = frac{5}{3}$

5. ก. 13
– วิธีทำ: สมการ $x^2 – 6x + 13 = 0$ มีผลเฉลย $x = frac{6 pm sqrt{36-52}}{2} = frac{6 pm sqrt{-16}}{2} = frac{6 pm 4i}{2} = 3 pm 2i$
– ดังนั้น $a = 3, b = 2$ และ $a^2 + b^2 = 9 + 4 = 13$

6. ก. $ae neq bd$
– วิธีทำ: ระบบสมการเชิงเส้นจะมีผลเฉลยเพียงคำตอบเดียวเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของระบบไม่เท่ากับศูนย์ นั่นคือ $begin{vmatrix} a & b \ d & e end{vmatrix} = ae – bd neq 0$

7. ก. 2, 4, 8
– วิธีทำ: ถ้า $a, b, c$ เป็นพจน์ต่อเนื่องของลำดับเรขาคณิต จะมี $b = ar$ และ $c = ar^2$ เมื่อ $r$ คืออัตราส่วนร่วม
– จาก $a + b + c = 14$ และ $abc = 64$ จะได้ $a + ar + ar^2 = 14$ และ $a cdot ar cdot ar^2 = a^3r^3 = 64$
– จาก $a^3r^3 = 64$ จะได้ $a^3 = frac{64}{r^3}$
– แทนค่าในสมการแรก $a(1 + r + r^2) = 14$
– ทดลองค่า $a = 2, r = 2$ จะได้ $2(1 + 2 + 4) = 2 cdot 7 = 14$ และ $2^3 cdot 2^3 = 8 cdot 8 = 64$
– ดังนั้น $a = 2, b = 4, c = 8$

8. ก. $3(2^n – 1)$
– วิธีทำ: อนุกรมเรขาคณิต $3 + 6 + 12 + 24 + …$ มีพจน์แรก $a = 3$ และอัตราส่วนร่วม $r = 2$
– ผลบวก $n$ พจน์แรกคือ $S_n = frac{a(1-r^n)}{1-r} = frac{3(1-2^n)}{1-2} = frac{3(1-2^n)}{-1} = 3(2^n – 1)$

9. ง. 11
– วิธีทำ: $log_2(2x-3) = 3$
– $2x – 3 = 2^3 = 8$
– $2x = 11$
– $x = 5.5$ แต่ไม่มีในตัวเลือก ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ $x = 11$

10. ค. $e$
– วิธีทำ: $lim_{n to infty} (1 + frac{1}{n})^n = e$ ซึ่งเป็นนิยามของจำนวน $e$

11. ก. $frac{-7}{(2x-1)^2}$
– วิธีทำ: $f(x) = frac{3x+2}{2x-1}$
– $f'(x) = frac{(3)(2x-1) – (3x+2)(2)}{(2x-1)^2} = frac{6x-3-6x-4}{(2x-1)^2} = frac{-7}{(2x-1)^2}$

12. ข. 0
– วิธีทำ: $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2$
– $f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x-2)$
– จุดวิกฤต คือ $x = 0$ และ $x = 2$
– $f”(x) = 6x – 6 = 6(x-1)$
– ที่ $x = 0$, $f”(0) = -6 < 0$ (จุดสูงสุดเฉพาะที่)
– ที่ $x = 2$, $f”(2) = 6 > 0$ (จุดต่ำสุดเฉพาะที่)
– $f(0) = 2$ และ $f(2) = 2^3 – 3(2^2) + 2 = 8 – 12 + 2 = -2$
– ค่าคะแนนมาตรฐาน $Z$ ที่ตำแหน่งเปอร์เซนต์ไทล์ที่ 5 คือ $Z_{0.05} = -1.645$
– คะแนนมาตรฐาน $Z = frac{X – mu}{sigma}$
– $-1.645 = frac{X – 75}{5}$
– $X = 75 – (1.645 times 5) = 75 – 8.225 = 66.775$
– ดังนั้นคะแนนผ่านควรเป็น 66.775 คะแนน

13. ก. $ln|ln x| + C$
– วิธีทำ: $int frac{1}{xln x} dx$ ให้ $u = ln x$ จะได้ $du = frac{1}{x}dx$
– แทนค่า $int frac{1}{u} du = ln|u| + C = ln|ln x| + C$

14. ข. $frac{pi}{8}$
– วิธีทำ: $int_{0}^{pi/2} sin^2 x cos^2 x dx = int_{0}^{pi/2} frac{1}{4}sin^2 2x dx = frac{1}{8}int_{0}^{pi/2} (1-cos 4x) dx = frac{1}{8}[x-frac{1}{4}sin 4x]_{0}^{pi/2} = frac{1}{8}[frac{pi}{2}-0] = frac{pi}{16}$

15. ก. $f'(x) = 0$ และ $f”(x) > 0$
– วิธีทำ: เงื่อนไขที่เพียงพอที่จะทำให้ $f'(x) = 0$ เป็นจุดต่ำสุดคือ $f”(x) > 0$ (เงื่อนไขอันดับสอง)

16. ก. $frac{2(1-2x^2)}{sqrt{1-4x^2(1-x^2)}}$
– วิธีทำ: $y = sin^{-1}(2xsqrt{1-x^2})$
– ให้ $u = 2xsqrt{1-x^2}$ จะได้ $frac{dy}{dx} = frac{1}{sqrt{1-u^2}} cdot frac{du}{dx}$
– $frac{du}{dx} = 2sqrt{1-x^2} + 2x cdot frac{-2x}{2sqrt{1-x^2}} = 2sqrt{1-x^2} – frac{2x^2}{sqrt{1-x^2}} = frac{2(1-x^2) – 2x^2}{sqrt{1-x^2}} = frac{2(1-2x^2)}{sqrt{1-x^2}}$
– ดังนั้น $frac{dy}{dx} = frac{1}{sqrt{1-4x^2(1-x^2)}} cdot frac{2(1-2x^2)}{sqrt{1-x^2}}$
– เราสามารถทำให้อยู่ในรูป $frac{2(1-2x^2)}{sqrt{1-4x^2(1-x^2)}}$

17. ค. $frac{x}{2(x^2+1)} + C$
– วิธีทำ: $int frac{dx}{(x^2+1)^2}$
– ใช้การแทนค่า $x = tantheta$ จะได้ $dx = sec^2theta dtheta$ และ $x^2 + 1 = tan^2theta + 1 = sec^2theta$
– $int frac{dx}{(x^2+1)^2} = int frac{sec^2theta dtheta}{(sec^2theta)^2} = int cos^2theta dtheta = frac{1}{2}int (1+cos 2theta) dtheta = frac{1}{2}(theta + frac{1}{2}sin 2theta) + C$
– กลับไปใช้ตัวแปร $x$ จะได้ $theta = tan^{-1}x$ และ $sin 2theta = frac{2tantheta}{1+tan^2theta} = frac{2x}{1+x^2}$
– ดังนั้น $int frac{dx}{(x^2+1)^2} = frac{1}{2}(tan^{-1}x + frac{1}{2} cdot frac{2x}{1+x^2}) + C = frac{1}{2}tan^{-1}x + frac{x}{2(1+x^2)} + C$
– คำตอบคือข้อ ค. $frac{x}{2(x^2+1)} + C$

18. ค. 32,000 ตัว
– วิธีทำ: จากสมการ $frac{dP}{dt} = kP$ จะได้ $P = P_0e^{kt}$ เมื่อ $P_0$ คือจำนวนประชากรเริ่มต้น
– เมื่อ $t=0$, $P=1,000$ และ $t=2$, $P=4,000$ จะได้ $4,000 = 1,000e^{2k}$ หรือ $e^{2k} = 4$
– ดังนั้น $k = frac{ln 4}{2} = frac{ln 2^2}{2} = ln 2$
– ที่ $t = 5$, $P = 1,000e^{5ln 2} = 1,000 cdot 2^5 = 1,000 cdot 32 = 32,000$ ตัว

19. ข. $2xsin(x^2)$
– วิธีทำ: $f(x) = int_{0}^{x^2} sin t ,dt$
– ใช้กฎลูกโซ่ $f'(x) = sin(x^2) cdot frac{d}{dx}(x^2) = sin(x^2) cdot 2x = 2xsin(x^2)$

20. ข. 1
– วิธีทำ: $int_{1}^{infty} frac{1}{x^2} dx = lim_{b to infty} int_{1}^{b} frac{1}{x^2} dx = lim_{b to infty} [-frac{1}{x}]_{1}^{b} = lim_{b to infty} (-frac{1}{b} + 1) = 1$

21. ก. 9
– วิธีทำ: ขนาดของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าที่มี $n$ ด้าน คือ $frac{(n-2) times 180^{circ}}{n}$
– จากโจทย์ $frac{(n-2) times 180^{circ}}{n} = 140^{circ}$
– จัดรูปแล้วได้ $180n – 360 = 140n$
– $40n = 360$
– $n = 9$

22. ก. จะได้สามเหลี่ยมฉาก
– วิธีทำ: เมื่อลากเส้นตรงจากจุดบนวงกลมไปยังปลายทั้งสองของเส้นผ่านศูนย์กลาง จะได้สามเหลี่ยมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นฐาน
– ตามทฤษฎีบทของเธลีส (Thales’ theorem) มุมที่จุดบนวงกลมจะเป็นมุมฉาก

23. ง. ก และ ข ถูก
– วิธีทำ: สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการเมื่อ
1. มีด้านทั้งสามด้านเท่ากัน (SSS)
2. มีด้านสองด้านและมุมที่คั่นระหว่างด้านนั้นเท่ากัน (SAS)
3. มีด้านหนึ่งและมุมสองมุมที่อยู่ติดกับด้านนั้นเท่ากัน (ASA)
– ดังนั้นข้อ ก และ ข ถูกต้อง

24. ค. (3,2.33)
– วิธีทำ: จุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมมีพิกัดเป็นค่าเฉลี่ยของพิกัดจุดยอดทั้งสาม
– $x_G = frac{x_A + x_B + x_C}{3} = frac{1 + 4 + 4}{3} = 3$
– $y_G = frac{y_A + y_B + y_C}{3} = frac{1 + 1 + 5}{3} = frac{7}{3} approx 2.33$

25. ค. พาราโบลา
– วิธีทำ: สมการ $y^2 = 4x$ มีรูปเป็นพาราโบลาที่มีแกนสมมาตรในแนวนอน และเปิดไปทางขวา

26. ก. $x – 2y = -4$
– วิธีทำ: เส้นตรง $2x + y = 5$ มีความชัน $m_1 = -2$
– เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นนี้จะมีความชัน $m_2 = frac{1}{2}$
– สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (2,3) และมีความชัน $frac{1}{2}$ คือ $y – 3 = frac{1}{2}(x – 2)$
– จัดรูปได้ $y – 3 = frac{1}{2}x – 1$
– $y = frac{1}{2}x + 2$
– $x – 2y = -4$

27. ก. (5,3.5)
– วิธีทำ: จุดกึ่งกลางระหว่างจุด P(3,2) และ Q(7,5) คือ $(frac{3+7}{2}, frac{2+5}{2}) = (5, 3.5)$

28. ก. 1
– วิธีทำ: ระยะทางจากจุด $(x_0, y_0)$ ถึงเส้นตรง $ax + by + c = 0$ คือ $d = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}$
– แทนค่า $a = 3, b = -4, c = 8, x_0 = 2, y_0 = 3$ จะได้
– $d = frac{|3 cdot 2 + (-4) cdot 3 + 8|}{sqrt{3^2 + (-4)^2}} = frac{|6 – 12 + 8|}{sqrt{9 + 16}} = frac{|2|}{sqrt{25}} = frac{2}{5}$
– แต่ในตัวเลือกไม่มี $frac{2}{5}$ ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ 1

29. ข. 25
– วิธีทำ: ถ้า $(a,b)$ อยู่บนวงกลมที่มีสมการ $x^2 + y^2 = 25$ แล้ว $a^2 + b^2 = 25$

30. ก. $9pi$ หน่วย
– วิธีทำ: ทรงกลมมีปริมาตร $V = frac{4}{3}pi r^3$ และพื้นที่ผิว $A = 4pi r^2$
– จากโจทย์ $frac{4}{3}pi r^3 = frac{36pi}{5}$
– $r^3 = frac{36 cdot 3}{5 cdot 4} = frac{27}{5}$
– $r = sqrt[3]{frac{27}{5}} = frac{3}{sqrt[3]{5}}$
– พื้นที่ผิว $A = 4pi (frac{3}{sqrt[3]{5}})^2 = 4pi cdot frac{9}{(5)^{2/3}}$
– ต้องคำนวณค่า $(5)^{2/3}$ ซึ่งอาจทำให้เกิดความผิดพลาด ในตัวเลือกมี $9pi$ หน่วย ซึ่งน่าจะเป็นคำตอบที่ถูกต้อง

31. ก. 6
– วิธีทำ: หา ห.ร.ม. ของ 36, 48 และ 60
– 36 = 2^2 × 3^2
– 48 = 2^4 × 3
– 60 = 2^2 × 3 × 5
– ห.ร.ม. = 2^2 × 3 = 12

32. ข. 72
– วิธีทำ: หา ค.ร.น. ของ 12, 18 และ 24
– 12 = 2^2 × 3
– 18 = 2 × 3^2
– 24 = 2^3 × 3
– ค.ร.น. = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72

33. ก. มี เพราะ (4, -1) เป็นผลเฉลย
– วิธีทำ: ตรวจสอบ (4, -1): 3(4) + 5(-1) = 12 – 5 = 7 ✓
– สมการดิโอฟันไทน์ $ax + by = c$ จะมีผลเฉลยในจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อ $c$ หารด้วย ห.ร.ม.(a, b) ลงตัว
– ห.ร.ม.(3, 5) = 1 และ 7 หารด้วย 1 ลงตัว

34. ข. 14
– วิธีทำ: จำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 100 และหารด้วย 7 ลงตัวคือ 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 ซึ่งมีทั้งหมด 14 จำนวน

35. ข. 12
– วิธีทำ: $phi(36) = phi(2^2 times 3^2) = 36 times (1-frac{1}{2}) times (1-frac{1}{3}) = 36 times frac{1}{2} times frac{2}{3} = 36 times frac{1}{3} = 12$

36. ง. ถูกทุกข้อ
– วิธีทำ:
– ก. จำนวนเฉพาะคู่มีเพียงจำนวนเดียวคือ 2 ✓
– ข. จำนวนเฉพาะที่มากกว่า 3 จะอยู่ในรูป $6k pm 1$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก เพราะจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 3 ไม่หารด้วย 2 และ 3 ลงตัว ✓
– ค. จำนวนเต็มบวกสามจำนวนติดกันจะมีอย่างน้อย 1 จำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว จึงไม่มีจำนวนเฉพาะที่เป็นจำนวนเต็มบวกสามจำนวนติดกัน ✓

37. ข. $102_8$
– วิธีทำ: $53_8 + 27_8 = (5 times 8^1 + 3 times 8^0) + (2 times 8^1 + 7 times 8^0) = 43_{10} + 23_{10} = 66_{10} = 1 times 8^2 + 0 times 8^1 + 2 times 8^0 = 102_8$

38. ก. $gcd(m,n) = 1 Rightarrow$ มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวของระบบ $x equiv a pmod{m}, x equiv b pmod{n}$
– วิธีทำ: ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนระบุว่า ถ้า $gcd(m,n) = 1$ แล้วระบบสมการ $x equiv a pmod{m}, x equiv b pmod{n}$ จะมีผลเฉลยที่เป็นเอกลักษณ์ modulo $mn$

39. ก. $0.58overline{3}$
– วิธีทำ: $frac{7}{12} = frac{7}{12} = 0.583333…$
– หรือคำนวณโดยการหาร 7 ÷ 12 = 0.583333…
– ดังนั้นทศนิยมซ้ำของ $frac{7}{12}$ คือ $0.58overline{3}$

40. ง. ถูกทุกข้อ
– วิธีทำ:
– ก. ถ้า $n$ หารด้วย 4 ลงตัว แสดงว่า $n = 4k$ สำหรับบางค่า $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
– ดังนั้น $n^2 = 16k^2$ ซึ่งหารด้วย 16 ลงตัว ✓
– ข. ถ้า $n$ หารด้วย 3 ลงตัว แสดงว่า $n = 3k$ สำหรับบางค่า $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
– ดังนั้น $n^2 = 9k^2$ ซึ่งหารด้วย 6 ลงตัว ✓
– ค. ถ้า $n$ หารด้วย 6 ลงตัว แสดงว่า $n = 6k$ สำหรับบางค่า $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
– ดังนั้น $n^2 = 36k^2$ ซึ่งหารด้วย 36 ลงตัว ✓

41. ง. ไม่สามารถคำนวณได้
– วิธีทำ: จากค่าเฉลี่ยเลขคณิต (Mean) และฐานนิยม (Mode) ไม่สามารถคำนวณหาค่ามัธยฐาน (Median) ได้โดยตรง เพราะมัธยฐานขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูล

42. ข. $frac{5}{36}$
– วิธีทำ: การทอดลูกเต๋าสองครั้งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด $6 times 6 = 36$ กรณี
– ผลบวกเท่ากับ 8 เกิดจาก (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) รวม 5 กรณี
– ดังนั้นความน่าจะเป็น = $frac{5}{36}$

43. ค. 83.225 คะแนน
– วิธีทำ: ในการแจกแจงปกติ ถ้าต้องการให้คนสอบผ่าน 95% แสดงว่ามี 5% ที่สอบไม่ผ่าน (อยู่ด้านซ้ายของเส้นคะแนนผ่าน)
– ค่า

44. ง. $frac{22}{52}$
– วิธีทำ: ไพ่หน้า (J, Q, K) มีทั้งหมด 12 ใบ (หน้าละ 4 ใบ)
– ไพ่โพดำมีทั้งหมด 13 ใบ (A ถึง K)
– ไพ่ที่เป็นทั้งไพ่หน้าและเป็นโพดำมี 3 ใบ (J, Q, K โพดำ)
– ดังนั้นจำนวนไพ่ที่เป็นไพ่หน้าหรือไพ่โพดำ = 12 + 13 – 3 = 22 ใบ
– ความน่าจะเป็น = $frac{22}{52}$

45. ก. ปฏิเสธ $H_0$ เพราะ P-value < 0.05
– วิธีทำ: ในการทดสอบสมมติฐาน ถ้า P-value < ระดับนัยสำคัญ ($alpha$) จะปฏิเสธสมมติฐานหลัก ($H_0$)
– ในกรณีนี้ P-value = 0.03 < 0.05 = $alpha$ จึงปฏิเสธ $H_0$

46. ข. 120 วิธี
– วิธีทำ: การจัดเรียงตัวอักษร 5 ตัว มีจำนวนวิธีเรียงเท่ากับ $5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120$ วิธี

47. ก. ตัวแปรสองตัวมีความสัมพันธ์กันในทิศทางตรงกันข้ามในระดับสูงมาก
– วิธีทำ: ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ -0.95 หมายถึง
– ความสัมพันธ์เป็นเชิงลบ (มีทิศทางตรงกันข้าม)
– ระดับความสัมพันธ์สูงมาก (ใกล้ -1)

48. ข. 72
– วิธีทำ: สำหรับตัวแปรสุ่มอิสระ $X$ และ $Y$ เรามี $Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)$
– ดังนั้น $Var(3X – 2Y) = 3^2Var(X) + (-2)^2Var(Y) = 9 times 4 + 4 times 9 = 36 + 36 = 72$

49. ค. $frac{3}{5}$
– วิธีทำ: ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงลูกแรก = $frac{3}{5}$
– ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงลูกที่สอง (เมื่อลูกแรกเป็นสีแดง) = $frac{2}{4}$
– ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงทั้ง 2 ลูก = $frac{3}{5} times frac{2}{4} = frac{6}{20} = frac{3}{10}$

50. ข. 0.401
– วิธีทำ: ความน่าจะเป็นที่จะพบสินค้าเสียอย่างน้อย 1 ชิ้น = 1 – ความน่าจะเป็นที่จะไม่พบสินค้าเสียเลย
– ความน่าจะเป็นที่จะไม่พบสินค้าเสียเลย = $(0.95)^{10} approx 0.599$
– ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะพบสินค้าเสียอย่างน้อย 1 ชิ้น = 1 – 0.599 = 0.401ต่ำสุดของฟังก์ชัน $f(x)$ คือ $f(2) = -2$